BOLLETTINO 54 ARTICOLO DI MARIA ALFANO

FRATTALI

Caos in forma di splendide forme

Concorso “ARTE E SCIENZE” 2005

Fondazione Marino Golinelli

 

Maria Alfano

Socia A.N.I.S.N. Campania

Già docente di matematica e scienze nella scuola media a Cava dei Tirreni (SA)

Le montagne non sono coni, ama dire Benoit Mandelbrot pioniere dello studio del caos, il fulmine non si propaga in maniera lineare. Con ordine, anche se con un ordine incredibilmente complicato, il caos dirige diligentemente tutte le operazioni alla base della vita riducendo il globale tessuto connettivo della natura in un unico, per quanto intricato sia, sistema frattale.

 

Che cos’è un frattale

Dare una definizione soddisfacente di questi stranissimi enti matematici non è affatto facile, anzi è complessa: tuttavia si può dare una definizione intuitiva attraverso i suoi caratteri salienti. Innanzitutto, possiede una struttura autosimilare, vale a dire che  all’interno di uno stesso modello si evidenziano una serie di modelli simili al modello di base, in modi sempre differenti, ma analoghi, su scala progressivamente più piccola o più vasta.

Un’altra caratteristica di un frattale è la sua dimensione, pur essendo la sua area definita (la superficie che occupa è compresa entro dei limiti), ha un perimetro infinito, cioè la lunghezza della linea che delimita l’area è infinita.

Quando Mandelbrot si pose la domanda di quanto fosse lunga la dimensione della costa della Gran Bretagna dimostrò che la lunghezza dei vari tratti poteva continuare all’infinito scendendo su una scala sempre più piccola e non trovò una risposta definitiva, ma riuscì a definire un numero compreso tra 1 e 2 che identificava il frastagliamento della costa. Più la linea della

Il frattale è una figura complessa di grande bellezza estetica, che può essere rappresentata grazie all’ausilio e alle potenzialità dei computer grafici, attraverso un’equazione matematica “iterativa”, ossia che ritorna su se stessa, includendo il risultato ottenuto nella successiva equazione.

costa era frastagliata e più questo numero frazionario si avvicinava a 2. Mandelbrot dimostrò che questo numero conteneva delle proprietà di una dimensione, che chiamò “dimensione frattale” (dal latino ‘fractus’ rotto, spezzato). La geometria frattale fa di questi casi che sfidano la norma i fondamenti di una nuova matematica delle forme, il punto di partenza di una teoria sistematica e ordinatrice capace di trovare il filo della regolarità dove apparentemente c’è solo disordine e caos.

La cosa più sorprendente dei frattali è il fatto che essi siano largamente presenti in natura, quasi si trattasse di una sorta di linguaggio naturale. Prendiamo ad esempio la spirale. Questa figura geometrica è un frattale molto semplice, costituita da una linea che ruota attorno ad un centro e mano a mano si allontana da esso. Si può dire che le spirali siano alla base del mondo vivente. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l’intero codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale come quella dell’ammonite, vissuto 300.000.000 di anni fa. Ma la spirale è presente anche in altre situazioni: come ad esempio nelle galassie a spirale, tra cui la nostra Via Lattea.

La Via Lattea e’ costituita da un nucleo denso di stelle vecchie quanto la galassia attorno a cui orbitano le altre stelle. Le braccia della spirale dipartono dal centro della galassia formando un disco del diametro di 100.000 anni luce

 

 

e contengono le stelle piu’ giovani, da poche decine di milioni  a qualche miliardo di anni luce. I bracci della spirale non contengono solo stelle ma anche gas e polveri. Il Sole si trova alla periferia della galassia, a circa 28.000 anni luce dal centro e impiega circa 250.000.000 di anni per descrivere un’orbita completa attorno al centro della Via Lattea.

 

 

 

Forse fra poco potremmo dire anche addio all’idea che l’universo sia nato dal big bang come singola palla di fuoco. Studiosi stanno esplorando una nuova teoria basata sull’ipotesi, enunciata ormai 15 anni fa, che l’universo abbia attraversato uno stadio di inflazione. Durante questo stadio, afferma la teoria, il cosmo si ampliò esponenzialmente in una infinitesima frazione di secondo; dopo di che, l’universo continuò la propria evoluzione secondo il modello del big bang. Via via che gli studiosi hanno perfezionato lo scenario dell’inflazione, sono venute in luce alcune conseguenze sorprendenti, una delle quali rappresenta un cambiamento fondamentale nella visione del cosmo. Secondo le versioni più recenti della teoria inflazionaria, l’universo, anziché essere una palla di fuoco in espansione, sarebbe un immenso frattale che cresce continuamente: esso sarebbe costituito da molte sfere che si rigonfiano, le quali producono nuove sfere, che a loro volta ne generano altre, all’infinito.

 

Tracce (terrene) di antichi frattali

Le figure Kolam, motivi ornamentali indiani disegnati sul terreno dalle donne per proteggere e purificare le proprie case, sono antiche di quasi cinquemila anni, si sono rivelate essere veri e propri frattali.

I disegni Kolam sono costituiti da lunghe linee di polvere di riso stese a mano sul terreno preparato in precedenza con un miscuglio di letame bovino e acqua che, secondo la tradizione, purifica il luogo.

Ogni madre insegna alla propria figlia questa tecnica rituale, che viene apprezzata anche come dimostrazione di disciplina mentale e abilità di concentrazione.

Le figure Kolam sono tradizionalmente divise in gruppi a seconda del loro significato rituale e del loro utilizzo; vi sono infatti quelle per i giorni ordinari e quelle per le feste e per le occasioni speciali. Ma si dividono anche in particolari famiglie a seconda delle loro caratteristiche comuni. Le figure più grandi di alcune famiglie si ottengono da una serie di copie combinate di figure più piccole; in altri casi invece gli elementi di un’unica famiglia sono legati l’un l’altro in modo tale che si possa sempre ricavare una figura da un’altra “parente”.

Frattali in fisiologia umana

 

La geometria frattale si può applicare anche nel campo biologico-scientifico; un frattale infatti consiste di frammenti geometrici di grandezza ed orientamento variabile, ma con forma simile. Nel corpo umano strutture riconducibili a frattali sono osservabili nei neuroni e nelle fibre nervose, nel muscolo cardiaco, nei vasi sanguigni, nell’intestino e nell’albero bronchiale.

 

 

Nonostante che queste strutture anatomiche di tipo frattale facciano da supporto a funzioni evidentemente diverse in organi differenti, esse hanno in comune tratti strutturali e fisiologici. Ramificazioni o ripiegature frattali amplificano enormemente la superficie disponibile per l’assorbimento (come per l’intestino), per l’elaborazione delle informazioni (reti di neuroni) e per la distribuzione e la raccolta dei soluti (vasi sanguigni, dotti biliari e albero bronchiale). Se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi, in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta “frattale” fatta dalla natura per lo sviluppo …… dei neuroni

 

I neuroni hanno una struttura simile ai frattali, se si esaminano a basso ingrandimento si possono osservare ramificazioni asimmetriche (i dendriti) connesse con i corpi cellulari, a ingrandimento leggermente superiore si osservano ramificazioni più piccole a partire da quelle più grandi e così dicendo. Anche se la ramificazione dei neuroni a un certo livello si ferma, i frattali ideali possiedono infiniti dettagli, il fatto più notevole è che questi ultimi, ad una certa scala, sono simili (seppur non necessariamente identici) a quelli della struttura vista a ingrandimento maggiore o minore.

… del cuore

Nel cuore le strutture frattali hanno un ruolo vitale nella meccanica della contrazione e nella condizione dello stimolo elettrico eccitatorio, per esempio, una rete frattale di arterie e vene coronarie trasporta sangue da e verso il cuore. La geometria frattale è usata per spiegare alcune anomalie nelle modalità del flusso sanguigno coronarico, la cui interruzione può causare l’infarto miocardico. Inoltre un intreccio frattale di fibre di tessuto connettivo all’interno del cuore lega le valvole mitrale e tricuspide al muscolo sottostante, se questi tessuti dovessero rompersi, vi sarebbe un forte rigurgito di sangue dai ventricoli agli atrii, seguito da insufficienza cardiaca. Infine questa architettura casuale è evidente anche nelle ramificazioni di certi muscoli cardiaci

… dei nostri organi

La nanoscienza si prepara a rivoluzionare anche il settore dei trapianti di organo.

I ricercatori hanno usato modelli matematici di frattali, ritenuti sufficientemente analoghi, per disegnare una intricatissima microrete somigliante a quella dei vasi capillari, quindi l’hanno incisa su superfici di silicone, creando uno stampo. Introducendo un film microporoso biocompatibile tra due matrici di silicone accoppiate e saldate, è stata quindi creata la rete vascolare artificiale.

Nella presentazione del modello, avvenuta l’8 luglio 2003 a New York durante una conferenza della American Society for Microbiology, il Dott. Kaazempur-Mofrad del Mit ha dichiarato che nelle prime prove effettuate il 96% di cellule renali sono sopravvissute per una settimana, e il 95% di quelle epatiche addirittura per due.

 

Frattali nell’arte: armonia e bellezza

L’equilibrio di proporzioni fra le parti è molto importante nelle opere d’arte. Il segreto della bellezza e dell’armonia della facciata di S.Maria Novella in Firenze risiede nella rigorosa griglia di proporzioni che lega le parti tra loro e queste all’insieme. La facciata si inscrive in un quadrato avente il lato coincidente con la linea di base della chiesa. Suddividendo questo quadrato in sedici parti si scandiscono le sezioni fondamentali della facciata: la zona inferiore, l’ordine superiore, gli ingressi.

Spartendo ancora questi quadrati in quadrati ancora più piccoli (1/16 del quadrato di partenza) si vengono a determinare le altre misure dell’edificio.

La campata del portale inoltre è di altezza pari a una volta e mezzo la sua larghezza (secondo il rapporto 2/3). I lati dei quadrati intarsiati sulla fascia-cerniera che separa i due ordini superiore e inferiore misurano un terzo dell’altezza della fascia stessa e il doppio del diametro delle colonne dell’ordine inferiore.

Questo trova riscontro nel principio di autosomiglianza, dei frattali; in questo caso non sono le immagini stesse che si ripetono, ma, appunto, le proporzioni tra le parti.